Нужно убедиться, что на старом телефоне было включено "Сохранение на сервере" и выполнен вход с аккаунтом Google Play. Если так, то на новом телефоне достаточно войти в тот же аккаунт Google Play.
Если нет, то нужно включить "Сохранение на сервере" и пройти хотя бы один уровень для синхронизации прогресса.
Если всё ещё не получается, то дело в приложении Google Play Игры. Нужно переустановить его и выполнить вход со своим аккаунтом Google. После этого переустановите игру на новом устройстве и запустите её.